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「算法笔记」网络流 - 最小割
「算法笔记」网络流 - 最小割
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2018/12

「算法笔记」网络流 - 最小割

最小割,指割去一些边使得源点和汇点不连通的最小花费,有最大流最小割定理。


网络流系列文章

  1. 最大流
  2. 最小割
  3. 费用流
  4. 上下界网络流

概念

对于一个网络流图 $G=(V,E)$,其割的定义为一种点的划分方式:将所有的点划分为 $S$ 和 $T=V-S$ 两个集合,其中源点 $s\in S$,汇点 $t\in T$。

割的容量

我们的定义割 $(S,T)$ 的容量 $c(S,T)$ 表示所有从 $S$ 到 $T$ 的边的容量之和,即 $c(S,T)=\sum_{u\in S,v\in T}c(u,v)$。当然我们也可以用 $c(s,t)$ 表示 $c(S,T)$。

最小割

最小割就是求得一个割 $(S,T)$ 使得割的容量 $c(S,T)$ 最小。


证明

最大流最小割定理

定理:$f(s,t)_{\max}=c(s,t)_{\min}$

对于任意一个可行流 $f(s,t)$ 的割 $(S,T)$,我们可以得到:

$$ f(s,t)=S\ \text{出边的总流量}-S\ \text{入边的总流量}\le S\ \text{出边的总流量}=c(s,t) $$

如果我们求出了最大流 $f$,那么残余网络中一定不存在 $s$ 到 $t$ 的増广路经,也就是 $S$ 的出边一定是满流,$S$ 的入边一定是零流,于是有:

$$ f(s,t)=S\ \text{出边的总流量}-S\ \text{入边的总流量}=S\ \text{出边的总流量}=c(s,t) $$

结合前面的不等式,我们可以知道此时 $f$ 已经达到最大。


代码

最小割

通过最大流最小割定理,我们可以直接得到如下代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

const int N = 1e4 + 5, M = 2e5 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, s, t, tot = 1, lnk[N], ter[M], nxt[M], val[M], dep[N], cur[N];

void add(int u, int v, int w) {
    ter[++tot] = v, nxt[tot] = lnk[u], lnk[u] = tot, val[tot] = w;
}
void addedge(int u, int v, int w) {
    add(u, v, w), add(v, u, 0);
}
int bfs(int s, int t) {
    memset(dep, 0, sizeof(dep));
    memcpy(cur, lnk, sizeof(lnk));
    std::queue<int> q;
    q.push(s), dep[s] = 1;
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int i = lnk[u]; i; i = nxt[i]) {
            int v = ter[i];
            if (val[i] && !dep[v]) {
                q.push(v), dep[v] = dep[u] + 1;
            }
        }
    }
    return dep[t];
}
int dfs(int u, int t, int flow) {
    if (u == t) return flow;
    int ans = 0;
    for (int &i = cur[u]; i && ans < flow; i = nxt[i]) {
        int v = ter[i];
        if (val[i] && dep[v] == dep[u] + 1) {
            int x = dfs(v, t, std::min(val[i], flow - ans));
            if (x) {
                val[i] -= x, val[i ^ 1] += x, ans += x;
            }
        }
    }
    if (ans < flow) dep[u] = -1;
    return ans;
}
int dinic(int s, int t) {
    int ans = 0;
    while (bfs(s, t)) {
        int x;
        while ((x = dfs(s, t, INF))) ans += x;
    }
    return ans;
}
int main() {
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        addedge(u, v, w);
    }
    printf("%d\n", dinic(s, t));
    return 0;
}

方案

我们可以通过从源点 $s$ 开始 $\text{DFS}$,每次走残量大于 $0$ 的边,找到所有 $S$ 点集内的点。

void dfs(int u) {
    vis[u] = 1;
    for (int i = lnk[u]; i; i = nxt[i]) {
        int v = ter[i];
        if (!vis[v] && val[i]) dfs(v);
    }
}

割边数量

只需要将每条边的容量变为 $1$,然后重新跑 $\text{Dinic}$ 即可。


问题模型

有 $n$ 个物品和两个集合 $A,B$,如果将一个物品放入 $A$ 集合会花费 $a_i$,放入 $B$ 集合会花费 $b_i$;还有若干个形如 $u_i,v_i,w_i$ 限制条件,表示如果 $u_i$ 和 $v_i$ 同时不在一个集合会花费 $w_i$。每个物品必须且只能属于一个集合,求最小的代价。

这是一个经典的二者选其一的最小割题目。我们对于每个集合设置源点 $s$ 和汇点 $t$,第 $i$ 个点由 $s$ 连一条容量为 $a_i$ 的边、向 $t$ 连一条容量为 $b_i$ 的边。对于限制条件 $u,v,w$,我们在 $u,v$ 之间连容量为 $w$ 的双向边。

注意到当源点和汇点不相连时,代表这些点都选择了其中一个集合。如果将连向 $s$ 或 $t$ 的边割开,表示不放在 $A$ 或 $B$ 集合,如果把物品之间的边割开,表示这两个物品不放在同一个集合。

最小割就是最小花费。


习题


网络流 24 题

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