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「Codeforces 1139F」Dish Shopping
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2019/04

「Codeforces 1139F」Dish Shopping

题目链接:Codeforces 1139F

有 $m$ 个人居住在一个城市里,在这个城市里总共出售 $n$ 道菜。第 $i$ 道菜的价格为 $p_i$、标准值 $s_i$、美味值 $b_i$。第 $j$ 人的收入为 $inc_j$、首选的美味值 $pref_j$。

第 $j$ 个人会买第 $i$ 道菜当且仅当 $p_i \le inc_j \le s_i$ 且 $\vert b_i - pref_j \vert \le (inc_j - p_i)$。

请求出每个人会买多少道菜。

数据范围:$1 \le n, m \le 10 ^ 5$,$1 \le p_i, s_i, b_i, inc_i, pref_i \le 10 ^ 9$。


Solution

首先我们把绝对值去掉,得到如下限制条件:

$$ \begin{cases} p_i \le inc_j \le s_i \\ b_i - pref_j \le inc_j - p_i \\ pref_j - b_i \le inc_j - p_i \\ \end{cases} $$

经过简单转化得到:

$$ \begin{cases} p_i \le inc_j \le s_i \\ inc_j + pref_j \ge b_i + p_i \\ pref_j - inc_j \le b_i - p_i \\ \end{cases} $$

我们把 $(inc_j, pref_j)​$ 看做二维平面上的一个点,那么相当于点 $(inc_j, pref_j)​$ 需要位于下图所示的三角形内(包含边界):

那我们只需要计算每个点 $(inc_j, pref_j)​$ 在多少个三角形内。

考虑扫描线,我们将所有修改和询问按照 $x​$ 坐标递增的顺序排序。当扫描到 $x = p_i​$ 时,我们将第 $i​$ 个三角形的贡献加入;当扫描到 $x = s_i + 1​$ 时,我们将第 $i​$ 个三角形的贡献删除。

观察贡献的形式:直线 $x + y = b_i + p_i​$ 的上方;直线 $y - x = b_i - p_i​$ 的下方。可以使用差分解决,贡献转化为:

  1. 在直线 $x + y = b_i + p_i$ 上加上 $1$ 的贡献。
  2. 在直线 $y - x = b_i - p_i + 1$ 上加上 $-1$ 的贡献。

消除贡献时同理。我们可以使用两个树状数组 $A, B$ 来分别记录 $x + y$ 和 $y - x​$ 的贡献。

询问第 $j$ 个人时,我们只需要查询 $A$ 中 $inc_j + pref_j$ 的前缀和、$B$ 中 $pref_j - inc_j$ 的前缀和,将两个前缀和相加就是答案。

时间复杂度:$\mathcal O((n + m)\log (n +m))$。


Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int N = 4e5 + 5;

int n, m, p[N], s[N], b[N], inc[N], pre[N], ans[N];

struct Data {
    int p, x, y, opt, id;
    Data(int _p, int _x, int _y, int _opt, int _id) {
        p = _p, x = _x, y = _y, opt = _opt, id = _id;
    }
    bool operator<(const Data &b) const {
        return p == b.p ? id < b.id : p < b.p;
    }
};

struct BIT {
    int n, b[N];
    void modify(int x, int v) {
        for (; x <= n; x += x & -x) b[x] += v;
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for (; x; x ^= x & -x) ans += b[x];
        return ans;
    }
} b1, b2;

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &p[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &s[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &b[i]);
    for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &inc[i]);
    for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &pre[i]);
    std::vector<int> v;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        v.push_back(b[i] + p[i]);
        v.push_back(b[i] - p[i] + 1);
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        v.push_back(inc[i] + pre[i]);
        v.push_back(pre[i] - inc[i]);
    }
    std::sort(v.begin(), v.end());
    v.erase(std::unique(v.begin(), v.end()), v.end());
    b1.n = b2.n = v.size();
    std::vector<Data> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        q.push_back(Data(p[i], p[i], b[i], 1, 0));
        q.push_back(Data(s[i] + 1, p[i], b[i], -1, 0));
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        q.push_back(Data(inc[i], inc[i], pre[i], 0, i));
    }
    std::sort(q.begin(), q.end());
    for (Data t: q) {
        if (t.opt) {
            int x = std::lower_bound(v.begin(), v.end(), t.x + t.y) - v.begin() + 1;
            int y = std::lower_bound(v.begin(), v.end(), t.y - t.x + 1) - v.begin() + 1;
            b1.modify(x, t.opt), b2.modify(y, -t.opt);
        } else {
            int x = std::lower_bound(v.begin(), v.end(), t.x + t.y) - v.begin() + 1;
            int y = std::lower_bound(v.begin(), v.end(), t.y - t.x) - v.begin() + 1;
            ans[t.id] = b1.query(x) + b2.query(y);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == m]);
    return 0;
}

引用

最后修改:2019 年 06 月 28 日 01 : 08 PM

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